Παρουσίαση με θέμα: Μαθηματικά και Φιλοσοφία
Η παρουσίαση έγινε την Τετάρτη 9 Νοεμβρίου 2022 στο 4ο Δημοτικό Σχολείο Λιβαδειάς, μετά από πρόσκληση των συναδέλφων: Λουκίας Αγραφιώτου, Ελένης Αργυρίου, Ελένης Μαριδάκη, Βασιλικής Πέτρου, Μανώλη Δαφτσή και της διευθύντριας Αστερίας Ράπτη τους οποίους και ολόθερμα ευχαριστώ, για μιλήσω με θέμα «Μαθηματικά και Φιλοσοφία». Η πρόσκληση έγινε στο πλαίσιο του προγράμματος: «Erasmus+ Become European Math Champions» και συμμετείχαν εκπαιδευτικοί και μαθητές από την Ελλάδα, Ισπανία, Κροατία, Ρουμανία, Ιταλία και Πορτογαλία, καθώς και όλοι οι μαθητές της ΣΤ τάξης του σχολείου και αρκετοί συνάδελφοι.
Όλες οι φωτογραφίες της εκδήλωσης εδώ
Καλή σας ημέρα.
Σήμερα αυτή η παρουσίαση έχει θέμα: Μαθηματικά και Φιλοσοφία.
- Μαθηματικά, λέξη Ελληνική, δεν είναι μόνο αυτό που γνωρίζεται μέσα από τα μαθήματα, είναι κάτι πολύ περισσότερο.
- Φιλοσοφία, επίσης λέξη Ελληνική, από το φίλος, φιλία, που στα Αρχαία Ελληνικά σήμαινε «αγαπώ», και τη λέξη σοφία
Και οι δυο αυτές λέξεις, με την ίδια σημασία, υπάρχουν ακριβώς έτσι σε ΟΛΕΣ τις γλώσσες του κόσμου!
Πολύ σύντομα θα προσπαθήσω να σας μιλήσω για τις δυο αυτές έννοιες και την σχέση τους.
Η παρουσίαση, όπως ήδη ξέρετε, θα περιλαμβάνει τις εξής επιμέρους ενότητες:
Α) Εισήγηση
- Τα Μαθηματικά είναι μια Ελληνική επιστήμη.
- Διαχρονικά η γνώση στοιχείων των Μαθηματικών ήταν και είναι προϋπόθεση για να ασχοληθεί κανείς με τη φιλοσοφία.
- Τα Μαθηματικά είναι η πρώτη ανθρώπινη επιστήμη και άνοιξαν το δρόμο για να δημιουργηθούν και οι υπόλοιπες επιστήμες.
Β) Ασκήσεις – παιγνίδια
- Μέτρηση όλων των γραμμών ενός πενταγώνου. Γενίκευση: κατασκευή του τύπου μέτρησης όλων των γραμμών ενός πολυγώνου.
- Μέτρηση όλων των χειραψιών που ανταλλάσσουν τα μέλη μια ομάδας ανθρώπων.
Γ) Και ένα αίνιγμα λογικής: Ένας βοσκός θέλει να περάσει από την μια όχθη ενός ποταμιού στην άλλη όχθη, ένα πρόβατο, έναν λύκο και ένα δέμα με τριφύλλι. Με το δεδομένο πως η βάρκα μπορεί να κουβαλήσει το βοσκό και ένα μόνο από τα πρόβατο, λύκο, δέμα με τριφύλλι, γιατί είναι μικρή, πώς ο βοσκός θα τα περάσει απέναντι, χωρίς να φάει το πρόβατο το τριφύλλι, ή ο λύκος το πρόβατο;
Κλείσιμο
Μαθηματικά: η καλύτερη άσκηση για την τέχνη της (τυπικής) λογικής.
Ανάπτυξη Μαθήματος
Α) Εισήγηση
- Τα Μαθηματικά είναι μια ελληνική επιστήμη.
«Τα θεμέλια των Μαθηματικών και ένα μεγάλο μέρος του περιεχομένου τους είναι Ελληνικά. Οι Έλληνες έθεσαν τις πρώτες επιστημονικές βάσεις, δημιούργησαν τις μεθόδους εξ’ αρχής όπως και την ορολογία. Με λίγα λόγια τα Μαθηματικά είναι μια ελληνική επιστήμη, οποιαδήποτε και αν είναι η ανάπτυξη που έφερε ή θα φέρει η σύγχρονη έρευνα».
Μην σας φαίνεται εγωιστικό αυτό γιατί δεν το λέω εγώ το λέει ο Sir Thomas L. Heath στο παγκόσμια γνωστό του έργο «Ιστορία των Ελληνικών Μαθηματικών» και πολλοί άλλοι.
Παράδειγμα 1
Βεβαίως τα στοιχειώδη Μαθηματικά (πρακτική αριθμητική), οι πράξεις πρόσθεση αφαίρεση κλπ, είχαν δημιουργηθεί πριν από χιλιάδες χρόνια, όταν ο άνθρωπος άρχισε να ζει σε ομάδες. Το ίδιο και η πρακτική γεωμετρία ήταν γνωστή πολύ πριν τον Θαλή, τον Ευκλείδη, τον Πυθαγόρα κλπ. Στην Αίγυπτο η γεωμετρία ειδικά ήταν πολύ ανεπτυγμένη. γιατί κάθε χειμώνα ο Νείλος πλημύριζε και εξαφανίζονταν τα σύνορα των χωραφιών και την άνοιξη έπρεπε να τα ξαναχαράξουν, έτσι αναπτύχθηκε η πρακτική γεωμετρία από το γη+μετράω. Οι Έλληνες όμως, όπως θα δούμε παρακάτω, έκαναν τα Μαθηματικά επιστήμη και αυτό κάνει τη διαφορά.
Παράδειγμα 2
Στην Παγκόσμια Μαθηματική βιβλιογραφία ο γνωστός αριθμός 3,14 (κατά προσέγγιση) συμβολίζεται με το Ελληνικό γράμμα π (Greek letter pi «π») αναφέροντας ταυτόχρονα ότι οι αρχαίοι Έλληνες είχαν βρει πολλές και διαφορετικές γεωμετρικές προσεγγίσεις αυτού του αριθμού. Επίσης ο αριθμός 1,618 κατά προσέγγιση, η αναλογία δηλαδή που προκύπτει από την χρυσή τομή συμβολίζεται με το Ελληνικό γράμμα φ (Greek letter fi «φ»).
Παράδειγμα 3
Στην Παγκόσμια Μαθηματική βιβλιογραφία αναφέρεται συχνά πυκνά ένας από τους μεγαλύτερους Μαθηματικούς και Φιλοσόφους ο Έλληνας Διόφαντος, ο οποίος έθεσε τα ποιο στέρεα θεμέλια της Άλγεβρας, της επιστήμης που σχετίζεται άμεσα ή έμμεσα με ότι έχει κατασκευάσει ο άνθρωπος για να διευκολύνει τη ζωή του, πχ τα αυτοκίνητα, τα πλυντήρια, τους πυραύλους κλπ κλπ.
- Διαχρονικά η γνώση στοιχείων των Μαθηματικών ήταν και είναι προϋπόθεση για να ασχοληθεί κανείς με τη φιλοσοφία.
Ο πλέον γνωστός φιλόσοφος, ο Πλάτωνας που ήταν καλός και στη Γεωμετρία, είχε γράψει στην είσοδο της σχολής του το εξής: «Κανένας που δεν έχει ασχοληθεί με τη Γεωμετρία δεν (χρειάζεται) να περάσει την πόρτα αυτή» εννοώντας πως θα του ήταν άχρηστο.
Και να γιατί: Η Γεωμετρία και η Φιλοσοφία ξεκινάνε πάντα με το «τι» (ισχύει) και το «γιατί» (ισχύει) για να βρουν απαντήσεις. Και επιπλέον η Γεωμετρία μας εξασκεί στο πως θα φτάσουμε στην απάντηση (απόδειξη).
Έτσι και στην εποχή μας δεν υπάρχει φιλόσοφος που δεν έχει γνώσεις μαθηματικών και φυσικής.
- Τα Μαθηματικά είναι η πρώτη ανθρώπινη επιστήμη και άνοιξαν το δρόμο για να δημιουργηθούν και οι υπόλοιπες επιστήμες.
Όπως είπαμε παραπάνω η πρακτική γεωμετρία προϋπήρχε ως πρακτική μορφή μέτρησης κομματιών γης και χάραξης των αγρών. Κάποια στιγμή εμφανίζεται ο Θαλής ο πρώτος από τους επτά σοφούς της αρχαιότητας. Σπουδαίος φιλόσοφος, μέγας γεωμέτρης, αστρονόμος και φυσικός, της εποχής του. Χαρακτηριστικά ο Μπέρτραντ Ράσελ είπε πως «Η Δυτική φιλοσοφία αρχίζει με τον Θαλή». Και τι έκανε λοιπόν αυτός ο σπουδαίο Φιλόσοφος και Γεωμέτρης; Μέχρι τότε το κάθε τι το συνέδεαν με ένα μύθο ή με κάποια επιθυμία ενός θεού. Αυτός άφησε στην άκρη όλους τους μύθους και έβαλε στη θέση τους την έρευνα και την απόδειξη. Δηλαδή για κάθε τι ξεκινούσε με το «τι ισχύει» και κάνοντας απλούς συλλογισμούς έφτανε στο να «γιατί ισχύει». Έτσι απέδειξε πολλά από τα θεωρήματα που ακόμη διδασκόμαστε στη Γεωμετρία και στην Αστρονομία. Έτσι η Γεωμετρία (Μαθηματικά της εποχής) έγινε η πρώτη επιστήμη, γιατί στηρίχτηκε στην έρευνα και την απόδειξη.
Ο Θαλής κέρδισε μάλιστα τον θαυμασμό των Αιγυπτίων μετρώντας το ύψος των πυραμίδων, βασιζόμενος στο μήκος της σκιάς τους και της σκιάς μιας ράβδου που κάρφωνε στο έδαφος.
Β) Ασκήσεις – παιγνίδια
- Μέτρηση όλων των γραμμών ενός πενταγώνου. Γενίκευση: κατασκευή του τύπου μέτρησης όλων των γραμμών ενός πολυγώνου.
Σημείωση: Στην άσκηση θα συμμετέχουν 5 μαθητές, και θα χρησιμοποιηθεί ένα πεντάγωνο κατασκευασμένο από κομμάτια ελαστικού, σχήμα δίπλα
Οι μαθητές κρατούν μια κορυφή του πενταγώνου και απομακρύνονται κατάλληλα ώστε να σχηματισθεί ένα πεντάγωνο. Ρωτάμε τους μαθητές πόσες «γραμμές» κρατάει ο καθένας και τον ενώνουν με τους υπόλοιπους; Απάντηση 4, συνέχεια με την ερώτηση: Αφού είστε 5 γιατί είναι τέσσερες οι γραμμές που σας ενώνουν; Μα γιατί δεν υπάρχει γραμμή που να ενώνει τον καθένα με τον εαυτό του.
Συμπέρασμα 5 κορυφές άρα 5 – 1 = 4 οι γραμμές που ενώνουν κάθε κορυφή με όλες τις άλλες.
Άρα αν είναι Κ οι κορυφές θα είναι Κ – 1 οι γραμμές που ενώνουν κάθε κορυφή με όλες τις άλλες.
Ερώτηση: Είναι 5 οι κορυφές και από κάθε κορυφή ξεκινούν 4 γραμμές, πόσες είναι όλες οι γραμμές; (5χ4=20). Άρα αν είναι κ οι κορυφές θα είναι κ(κ – 1) οι γραμμές.
Απορία: Τη γραμμή πχ ΑC τη μετρήσαμε μια φορά για το Α και μια φορά για το C μήπως λοιπόν όλες οι γραμμές έχουν μετρηθεί 2 φορές; Απάντηση: ΝΑΙ
Οπότε αληθινά όλες οι γραμμές στο πεντάγωνο είναι: (5×4)/2 = 10 γραμμές, επομένως όταν είναι Κ οι κορυφές θα είναι κ(κ – 1)/2 γραμμές.
Προχωράμε στην δεύτερη άσκηση – παιχνίδι
- Μέτρηση όλων των χειραψιών που ανταλλάσσουν τα μέλη μια ομάδας ανθρώπων.
Η άσκηση έχει στόχο να φανεί ότι τα Μαθηματικά λειτουργούν με τον ίδιο τρόπο σε διαφορετικές «καταστάσεις» και υπάρχουν σε όλες τις επιστήμες και όλες τις ανθρώπινες λειτουργίες.
Σημείωση: Στην άσκηση θα συμμετέχουν 5 διαφορετικοί μαθητές.
Οι μαθητές προσέρχονται σε ένα σημείο της αίθουσας ένας – ένας αφού τους ζητήσουμε το εξής: Καθώς πλησιάζουν θα χαιρετούν όσους συμμαθητές τους βρίσκουν ήδη εκεί.
Η πρώτη ερώτηση είναι: Πόσες χειραψίες έκανε ο καθένας τους (απάντηση 4, μία με κάθε έναν από τους υπόλοιπους συμμαθητές του) και ακολουθείται η ίδια διαδικασία με την παραπάνω άσκηση, 5 μαθητές επί 4 χειραψίες ο καθένας άρα πρώτο συμπέρασμα 5χ4 = 20 χειραψίες. Όμως κάθε χειραψία έχει μετρηθεί δυο φορές πχ μια φορά για τον μαθητή Α και μια φορά για το μαθητή Β κλπ. Άρα τελικά : (5×4)/2 = 10 χειραψίες, επομένως όταν είναι Κ οι μαθητές θα είναι κ(κ – 1)/2 χειραψίες.
Γ) Ένα αίνιγμα λογικής
Ένας βοσκός θέλει να περάσει από την μια όχθη ενός ποταμού στην άλλη όχθη, ένα πρόβατο, έναν λύκο και ένα δέμα με τριφύλλι. Με το δεδομένο πως η βάρκα μπορεί να κουβαλήσει το βοσκό και ένα μόνο από τα πρόβατο, λύκο, δέμα με τριφύλλι, γιατί είναι μικρή, πώς ο βοσκός θα τα περάσει απέναντι, χωρίς να φάει το πρόβατο το τριφύλλι, ή ο λύκος το πρόβατο;
Σκέψη: Τι ισχύει; Δηλαδή ποιο είναι το θέμα; Το θέμα είναι πως καθώς ο βοσκός θα λείπει από την μια όχθη περνώντας στην απέναντι δεν πρέπει ποτέ να μείνει ο λύκος με το πρόβατο ή το πρόβατο με το τριφύλλι. Άρα το μόνο σωστό που απομένει είναι στην ίδια όχθη να παραμένει πάντα ο λύκος με το τριφύλλι.
Επομένως ο βοσκός θα πάρει το πρόβατο και θα το περάσει απέναντι, θα γυρίσει και θα πάρει το τριφύλλι πχ και θα το περάσει απέναντι, αλλά γυρίζοντας θα πάρει μαζί του το πρόβατο, θα αφήσει στην αρχικά θέση το πρόβατο και θα πάρει μαζί του το λύκο και θα τον περάσει απέναντι και τέλος θα γυρίσει και θα πάρει ξανά το πρόβατο.
Κλείσιμο
Μαθηματικά: η καλύτερη άσκηση για την τέχνη της (τυπικής) λογικής.
Και κάπως έτσι φτάνουμε στο τέλος μα πριν τελειώσω να σας πω δυο μικρές μα αληθινές ιστορίες.
Α) Κάποτε ο μέγας φυσικός, ο «παππούς» Άλμπερτ Αϊνστάιν τα είχε βρει σκούρα και δεν μπορούσε να ολοκληρώσει τη γνωστή του θεωρία, τη «Θεωρία της Σχετικότητας» γιατί δεν μπορούσε να φτιάξει και να λύσει μερικές εξισώσεις που ήταν απαραίτητες. Απευθύνθηκε σε κάποιο συνάδελφό του στο πανεπιστήμιο του Μονάχου, στον Έλληνα Μαθηματικό Κωνσταντίνο Καραθεοδωρή, ο οποίος του έφτιαξε και έλυσε τις εξισώσεις που χρειάζονταν και ο Αϊνστάιν του έστειλε μερικές ευχαριστήριες επιστολές, που έχουν δημοσιευτεί, λέγοντας του πόσο σπουδαία ήταν η συνεισφορά του στην ανθρωπότητα.
Β) Πάλι ο Άλμπερτ Αϊνστάιν έχει γράψει σε ένα του βιβλίο: Δεν θα είχα καταφέρει να γίνω αυτός που έγινα αν δεν ήξερα καλή Γεωμετρία. Γιατί η Γεωμετρία είναι ότι καλύτερο έχει βρει ο άνθρωπος για να εξασκούμαστε στην τέχνη της (τυπικής) λογικής.
Κλείνω λέγοντα πως όλα τα μαθήματα και όλες οι επιστήμες είναι καλές και χρήσιμες μα τα Μαθηματικά έχουν δυο παραπάνω λόγους, πρώτον είναι «βοηθός» σε όλες τις άλλες επιστήμες και δεύτερον γιατί μας μαθαίνουν να σκεφτόμαστε κάτι πολύ χρήσιμο για όλες μας τις δραστηριότητες και ολόκληρη τη ζωή μας
Σας ευχαριστώ πολύ για την υπομονή σας.
Δαμιανός Μωραΐτης
———————————————————————————————-
Η παρουσίαση στα Αγγλικά
Presentation on: Mathematics and Philosophy
Good morning.
Today this presentation is about: Mathematics and Philosophy.
- Mathematics, a Greek word, is not only what is known through the lessons, it is something much more.
- Philosophy, also a Greek word, is from the word friend/ friendship, which in Ancient Greek meant “to love”, and the word wisdom.
Both of these words, with the same meaning, exist just like that in ALL the languages of the world!
Very soon I will try to talk to you about these two concepts and their relationship.
The presentation, as you already know, will include the following sections:
- A) Proposal
- Mathematics is a Greek science.
- Throughout time, the knowledge of elements of Mathematics was and is a prerequisite for dealing with philosophy.
- Mathematics is the first human science and paved the way for the rest to be created.
- B) Exercises – games
- Measuring the diagonals of a pentagon, measuring all its lines. Generalization: construct type measuring all lines of a polygon.
- Counting all the handshakes exchanged by members of a group of people.
- C) And a logic riddle: A shepherd wants to go across a river, a sheep, a wolf and a bundle of clover. Given that, the boat is small and can carry the shepherd and only a sheep or a wolf or a bundle of clover, how will the shepherd go across the river without the sheep eating the clover, or the wolf eating the sheep?
Closure
Mathematics: the ultimate exercise in the art of (formal) logic.
Course Development
- A) Proposal
- Mathematics is a Greek science.
“The foundations of Mathematics and a large part of their content are Greek. The Greeks laid the first scientific foundations, they created the methods from the beginning as well as the terminology. In a few words, Mathematics is a Greek science, whichever development modern research brought or will bring “.
Don’t think that it is selfish because Sir Thomas L. Heath claims it in his work, “History of Greek Mathematics”, that is well-known worldwide.
Example 1
Of course elementary Mathematics (practical arithmetic), the operations of addition, subtraction etc. , were created thousands of years ago, when man began to live in groups. Likewise, practical geometry was known long before Thales, Euclid, Pythagoras, etc. In Egypt, especially geometry was developed because every winter, the Nile flooded and the borders of the fields disappeared and in the spring , they had to be redrawn. That is how practical geometry was developed. It comes from the words earth and measure . As we will ascertain later, the Greeks made Mathematics a science and that makes the difference.
Example 2
In the World Mathematical bibliography the well-known number 3.14 (approximately) is symbolized by the Greek letter π (Greek letter “π”) mentioning at the same time that the ancient Greeks had found many different geometric approximations of this number.
Example 3
In the World Mathematical bibliography is often mentioned, one of the greatest “Mathematicians” and philosophers, the Greek Diophantus, who laid the most solid foundations of Algebra. This science is directly or indirectly related to what man has invented to make his life easier, e.g. cars, washing machines, rockets etc.
- Throughout time, the knowledge of elements of Mathematics was and is a prerequisite for dealing with philosophy.
The most famous philosopher, Plato who was also good at Geometry), had written the following at the entrance of his school: “No one who has not dealt with Geometry, should pass this door”, meaning that it would be useless for them.
And here’s why: Geometry and Philosophy always start with “what” (is true) and “why” (is true) to find answers. And furthermore, Geometry trains us on how to arrive at the answer (proof).
So even in our time there is no philosopher who does not have knowledge of mathematics and physics.
- Mathematics is the first human science and paved the way for other sciences to be created.
As we said previously, practical geometry pre-existed as a practical form of measuring pieces of land and marking out fields. At some point, Thales appeared and was the first of the seven sages of antiquity. He was a great philosopher, geometer, astronomer and physicist of the time. Typically, Bertrand Russell said that “Western philosophy begins with Thales”. So, what did this great Philosopher and Geometer do? Until then, everything was associated with a myth or with some wish of a god. He set aside all myths and put research and proof in their place. That is, for everything he started with “what is true” and by making simple reasonings he reached “why it is true”. Thus, he proved many of the theorems that we are still taught in Geometry and Astronomy. Thus Geometry (Mathematics of the time) became the first science, because it was based on research and proof.
Thales even won the admiration of the Egyptians by measuring the height of the pyramids, based on the length of their shadow and the shadow of a rod fixed into the ground.
- B) Exercises – games
- Measuring the diagonals of a pentagon, measuring all its lines. Generalization: construction of a formula measuring all the lines of a polygon.
Note: The exercise will involve 5 students, and we will use a pentagon made from pieces of rope. Look at the following shape:
Students hold one vertex of the pentagon and move apart appropriately to form a pentagon. We ask the students: Ηow many “lines” does each person hold and join him/her with the rest? Answer 4. We continue with the question: Since you are 5 why are there four lines that join you? Because there a line that connects everyone to themselves.
Conclusion: 5 vertices so 5-1 = 4 lines joining each vertex to all others.
So, if it is K the vertices, it will be K-1 the lines joining each vertex to all the others.
Question: There are 5 vertices and 4 lines start from each vertex, how many are all the lines? (5×4=20). So, if it is K the vertices, it will be K(K-1) the lines.
Question: We measured the line (e.g. AC) once for A and once for C. So, have all the lines been measured twice? Answer: YES
And then, truly all the lines in the pentagon are: (5×4)/2 = 10 lines, so when it is K the vertices, it will be κ(κ – 1)/2 lines .
We proceed to the second exercise – game
- Counting all the handshakes exchanged by the members of a group of people.
The exercise aims to show that Mathematics works in the same way in different “situations” and exists in all sciences and all human functions.
Note: 5 different students will participate in the exercise.
The students come one by one to a point in the room after we ask them the following: As they approach they will greet those classmates who are already there.
The first question is: How many handshakes did each of them do? (Answer 4, one with each of the rest of their classmates). The same procedure is followed, as in the above exercise: 5 students multiplied by 4 handshakes each, so first conclusion 5×4 = 20 handshakes. But each handshake has been counted twice. For example, once for student A and once for student B, etc. So, finally: (5×4)/2 = 10 handshakes , so when it is K students, it will be κ(κ – 1)/2 handshakes .
- C) A logic riddle
A shepherd wants to go across a river, a sheep, a wolf and a bundle of clover. Given that the boat is small and can carry the shepherd and only a sheep or a wolf or a bundle of clover. How will the shepherd go across without the sheep eating the clover, or the wolf eating the sheep?
Thinking: What is true? So, what’s the point? The point is that when the shepherd goes across the river, the wolf should never be left with the sheep or the sheep with the clover. So, the only right thing left, is for the wolf to remain on the same side as the clover.
Therefore, the shepherd will go the sheep across the river, he will return and go the clover across. Returning, he will take the sheep with him, he will leave the sheep in the original position and he will take the wolf with him. Then, he will go the wolf across the river and finally he will return and take the sheep again.
Closure
Mathematics: the ultimate exercise in the art of (formal) logic.
- A) Once upon a time, the great physicist, the “grandfather” Albert Einstein had a hard time and could not complete his well-known theory, the “Theory of Relativity” because he could not make and solve some equations that were necessary. He talked to a colleague of his, at the University of Munich, the Greek Mathematician Constantinos Karatheodoris , who made and solved the equations he needed. Einstein sent him some letters of thanks, which have been published, telling him how great his contribution to humanity was.
- B) Again, Albert Einstein has written in one of his books: I would not have succeeded in becoming who I have become if I did not know good Geometry. Because Geometry is the best thing man has found to practice the art of (formal) logic.
And that’s how we come to the end, but before I finish let me tell you two short but true stories.
I conclude by saying that all subjects and all sciences are good and useful, but Mathematics has two more reasons. Firstly, it is a “helper” to all other sciences and secondly because it teaches us to think about something very useful for all our activities and our whole life.
Thank you very much for your patience.
Damianos Moraitis
